Zahlen in verschiedenen Darstellungen

Schon Ende der 1980er-Jahr gab es Taschenrechner, mit denen man Zahlen auch in Binär-, Oktal- oder Hexadezimaldarstellung anzeigen konnte und die auch eine Umrechnung zwischen diesen Darstellungen erlaubten. Doch sogar bis heute ist die Implementierung der verschiedenen Zahlensysteme immer noch lückenhaft: Sobald man das Dezimalsystem verläßt, zeigt der Taschenrechner keine Nachkommastellen mehr an, kennt keine Exponentialschreibweise mehr, keine Bruchrechnung und es sind sämtliche trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus), Logarithmen und Exponentialfunktionen gesperrt. Und statt mit einem korrekten Vorzeichen zeigt der Taschenrechner negative Werte in einer internen Darstellung an.

Dabei sind sämtliche Berechnungen der Mathematik unabhängig davon, in welchem Zahlensystem ihre Werte dargestellt werden. Die Regeln, was ein negatives Vorzeichen bedeutet und wie sich die Nachkommastellen einer Zahl ergeben, sind unabhängig von der Anzahl der Ziffern, die man gebrauchen möchte. Es gibt auch keinerlei Vorteile, die ausgerechnet das Dezimalsystem bringt. Außer der biologischen Tatsache, daß der Mensch genau zehn Finger hat, gibt es keinerlei Hervorhebung des Dezimalsystems gegenüber Stellensystemen mit anderen Anzahlen von Ziffern.

So sollte man von einem mathematisch korrekt arbeitenden Taschenrechner eigentlich erwarten, man die Anzahl der Ziffern frei wählen kann und nach wie vor alle seine Funktionen korrekt funktioniert. Auch in einem System mit z.B. sieben Ziffern kann man von jeder Zahl den Cosinus berechnen und anzeigen.

Da offensichtlich die Herstellerfirmen dies noch nicht erkannt haben, habe ich auf dieser Internetseiten zumindest schon einmal die Umrechnung von Zahlendarstellungen zwischen verschiedenen Stellensystemen vom Binärsystem bis zum Hexadezimalsystem programmiert. Sie können zwischen den Zahlendarstellungen umrechnen, indem Sie in eines der Eingabefelder eine für das betreffende System gültige Zahlendarstellung hineinschreiben und den rechts danebenstehenden Knopf "Umrechnung" betätigen. Die Eingabe wird dann anhand des betreffenden Systems als Zahl interpretiert und diese wird in den verschiedenen Systemen dargestellt. Momentan zeigt diese Seite die mathematische Konstante "π" ("pi") in den verschiedenen Stellensystemen.

Bei Zahlen mit großen Beträgen (größer als 4000 im Hexadezimalsystem) oder Zahlen, die nahe bei Null liegen (näher als 0,01 im Hexadezimalsystem), wechselt die Darstellung dieser Webseite automatisch für alle Zahlensysteme auf die Exponentialdarstellung. Bei der Interpretation der Exponentialdarstellung ist zu berücksichtigen, daß Basis nicht durchgängig die Zahl "zehn" ist, sondern natürlich die Zahl "10" des jeweiligen Zahlensystems. Nur im Dezimalsystem ist "10" die Zahl "zehn".

— Für Rätselfreunde —         In vielen Rätselsammlungen findet man Rechenaufgaben, bei denen die Ziffern durch Symbole ersetzt sind. Die Zuordnung der Symbole zu den Ziffern ist dann zu ermitteln. Doch leider sind diese Rätsel stets nur im Dezimalsystem formuliert und beinhalten nur die Addition. Unter der folgenden Adresse sind diese Rätsel für verschiedene Systeme und für alle vier Grundrechenarten zu finden: http://www.mein-rechenzentrum.de/numbers.html Eine Übersicht der möglichen Varianten und zugehörigen Rechentafeln ist zu sehen unter http://www.mein-rechenzentrum.de/table.html

Mit dieser Überlegung wird auch klar, warum ich die Zahlensysteme nicht durch die Anzahl der Ziffern benannt habe, sondern den Wertebereich der Ziffern hingeschrieben habe. Wenn ich die Anzahl der Ziffern dazugeschrieben hätte, stände dort jedesmal "10". In jedem derartigen Zahlensystem (Stellensystem) ist die Anzahl der Ziffern die Zahl "10".

Generell sollte man nicht vergessen, daß Zahlensysteme wie die obigen, die Ziffern mit bestimmten Wertigkeiten anhand ihrer Positionierung versehen, nicht die einzige Möglichkeit zu Darstellung von Zahlen sind. Beispiel für ein nicht in dieses Schema passendes Zahlensystem sind die römischen Zahlen. Bei diesen hat jede Ziffer unabhängig von ihrer Position immer genau denselben Wert. Die Position der Ziffern zueinander bestimmt lediglich, ob Ziffern zueinander addiert und voneinander subtrahiert werden.

Aber man muß nicht bis ins römische Reich zurückgreifen, um Zahlendarstellungen zu finden, die nicht unserer allgemeinen Auffassung von Stellensystemen entsprechen. Auch in der heutigen Mathematik werden Zahlen nicht immer lediglich durch Ziffern (ggf. mit Vorzeichen sowie Komma) dargestellt. Sobald eine irrationale Zahl hingeschrieben werden muß, kommt man mit einem nur aus Ziffern bestehenden System nicht mehr weit. Bestimmte irrationale Zahlen sind daher mit expliziten Namen versehen, z.B. die Konstante "π" ("pi") oder die Eulersche Zahl "e", für viele andere Zahlen muß dagegen eine mehr oder weniger komplexe Formel angegeben werden. So ist z.B. "Wurzel aus 2" oder auch eine kompliziert wirkende Grenzwertformel durchaus eine zulässige Notation einer einzelnen Zahl - weil sie sich eben anders nicht exakt hinschreiben läßt.

Ein Darstellungssystem für Zahlen, das weder ein Stellensystem ist noch ein Additionssystem wie das der römischen Zahlen, beschreibe ich auf der folgenden Seite:

• Ein Zahlensystem auf der Basis von Primzahlen

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